Reguläre Analyse

Für den Satz von Tychonoff braucht man Tychonoff Räume, diese sind vollständig regulär .

Vollständigkeit sollte klar sein (analogie Cauchy-Folge) etc. . Regulär bedeutet in dem es zu jeder abgeschlossenen Menge A in X und jedem Punkt x im Komplement von A eine stetige Funktion gibt, die jede die Menge durch Werte von 0 oder 1 Trennt.

Die meisten Leute , die ein Gegenbeispiel zur Regularität von R konstruieren wollen , gehen immer wieder über die rationalen Zahlen. Diese Menge ist aber nicht abgeschlossen in R bezüglich der Standard-Topologie , denn das Komplement ist nicht offen in jeder Umgebung einer irrationalen Zahl sind immer rationale Zahlen.

Zur Vervollständigung des Wissens hier zwei Beiträge

und

Der Satz von Stone Cech (oder Czech) braucht aber Tychonoff ähnliche Konstrukte .

Man überlege was daraus folgt !!!

Aber die Menge der Rationalen Zahlen ist doch nicht abgeschlossen, obwohl die Niemietzky -Topologie nicht normal ist bemerken einige !!! Die Niemietzky-Topologie ist aber nur deshalb mit den rationalen Zahlen auf einer unter Geraden abgeschlossen, weil ein 2 dimensionaler Raum sie offen umringt!!! Hier grenzen ja Kreise als topologische Basis, an die untere beschränkende Gerade als einzige offene Mengen. !!!
Nimmt man die Obere Halbebene und die Kreise, die die rationalen Zahlen enthalten , zusammen so hat man eine offene Menge. Das Komplement davon sind die irrationalen Zahlen auf dem begrenzenden Strahl der Halbebene. Diese sind sogar abgeschlossen, was die irrationalen Zahlen auf R nicht sind !!! Analog kann man aber auch mit den irrationalen Zahlen auf dem begrenzenden Zahlenstrahl der Niemietzky-Halbebene verfahren. Beide Mengen auf dem die Halbebne begrenzenden Zahlenstrahl ,die rationalen als auch die irrationalen sind somit abgeschlossen in der Niemietzky Topologie. Diese können trotzdem im Niemietzky-Raum durch kein Paar von offenen Mengen getrennt werden. So kommt die nicht-normalität des Niemietzky-Raumes zustande . Ich hoffe, das ist jetzt klar geworden.

Aber zurück zur Motivation von Stone-Chech (Czeck)

Ich motiviere dies durch die Riemann-Sphäre, die ja im eingebetteten Raum kompakt ist. Der R2 , den man in die Sphäre einbetten kann ist dies aber nicht !!!

Nun haben ja nicht alle Räume eine Struktur ähnlich wie der R^2 dies muss dann durch Sequenzen von Topologien ersetzt werden. Diese beinhalten dann aber durch die trennnde Funktion nach Tychonoff (siehe Anfang) und deren Konstruktion topologische Produkte , die dann die jeweilige Funktionalität der Metrik ersetzen.

Bei überabzählbaren Produkten benutzt man besser Ultrafilter. Diese Filter sind bloß für uniforme Räume eingeführt worden, in denen Sequenzen von metrik-artigen Abbildungen wieder zu einer Topologie führen !!!

Dies sollte dann als Motivation zum Satz von Stone Cech (Czech) ausreichen.

Greetings B_rk_s G_rh_rd H__r_ch K_fer