Tychonoff , (auf) deutsch !!

Wir alle kennen und lieben Ihn , ist X_i eine Familie von topologischen Räumen bei denen jedes X_i kompakt ist , so ist auch \Prod_{i \in \Cal{I}} X_i wieder kompakt in der Produkttopologie.

Das erstaunliche ist die Indexmenge kann auch überabzählbar sein. Der Beweis geht entweder über die konvergenz von Ultrafiltern oder eine endliche Durschnittseigenschaft von abgeschlossenen Mengen, die nur bei kompaktheit gilt.

Das heisst aber nicht , dass jede Einheitskugel in einem Banachraum kompakt ist. Die Produkttopologie ist ja auch nur über die endlichen Projektionen definiert !!!