Hausdorff-Eigenschaft revisited

Wie immer im Leben lernt man gerne noch etwas hinzu. Es gilt stetige Bilder von Hausdorff Räumen sind nicht unbedingt mehr hausdorffsch !!!

Der Beweis geht durch ein einfaches Gegenbeispiel. In R ,versehen mit der Topologie die durch die Basis der offenen Intervalle gebildet wird, werden alle rationalen Zahlen zu einer Zahl als äquivalent angesehen und mit den entsprechenden Äquivalenzklassen gesehen. Die Zahl
O sind dann alle rationalen Zahlen. Die Inklusion der jeweiligen Äquivalenzklassen wird nun mit der Quotiententopologie versehen. Die Inklusionsabbildung ist aber eine stetige Abbildung, der neue Raum , den wir gebildet haben, ist aber nun nicht mehr hausdorffsch. Ergo ist dies ein Beispiel für unsere Aussage .